TOP 50 bài tập KHÔNG GIAN METRIC (có đáp án) | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TP HCM

BÀI TẬP KHÔNG GIAN METRIC (CÓ ĐÁP ÁN)

Bài 1: Cho không gian metric (X; d) và tập hợp E $\subset$X thoả mãn

                                                                      $\underset{\mathrm{x},\mathrm{y}\in \mathrm{E}}{\inf }\mathrm{d}(\mathrm{x},\mathrm{y})>0$

Chứng minh rằng tập hợp E không có điểm tụ.

Bài 2:Cho A; B là hai tập con khác rỗng của không gian metric (X; d)

                                                               $\mathrm{Đặt} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{d}(\mathrm{x},\mathrm{A})-\mathrm{d}(\mathrm{x},\mathrm{B})$

1. Chứng minh f(x) là một hàm liên tục trên X.

2. Chứng minh tập $\mathrm{E}=\left\{\mathrm{x}\in \mathrm{E}\left|\mathrm{d}\right(\mathrm{x},\mathrm{A})=\mathrm{d}(\mathrm{x},\mathrm{B})\right\} \mathrm{là} \mathrm{một} \mathrm{tập} \mathrm{đóng}$

3. Giả thiết thêm $A\cap \overline{B}=\overline{A}\cap B=\varnothing$

Chứng minh rằng tồn tại các tập mở $\mathrm{U}\supset \mathrm{A},\mathrm{V}\supset \mathrm{B} \mathrm{sao} \mathrm{cho} \mathrm{U}\cap \mathrm{V}=\varnothing$

Bài 3:Cho X là không gian tiền compact (hay hoàn toàn bị chặn). Chứng minh X khả ly

Bài 4: Trên tập hợp số thực R ta định nghĩa

                                                             $\mathrm{d}(\mathrm{x},\mathrm{y})=\left|{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{y}}^3\right|,\forall \mathrm{x},\mathrm{y}\in \mathrm{R}$

1. Chứng minh rằng (R,d) là không gian metric đầy đủ

2. Ánh xạ f: (R,d) $\to$(R,d) xác định bởi f(x) = e^x có liên tục không?

3. Chứng minh rằng khoảng cách d(x,y) nói trên tương đương topo với khoảng cách thông thường g(x,y) = |x - y|. Song, các khoảng cách đó không tương đương đều.

Bài 5: Cho X là không gian metric compact và ${\left\{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right\}}_{\mathrm{n}=1}^{\infty }$là một dãy trong X.

Chứng minh rằng nếu${\left\{{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right\}}_{\mathrm{n}=1}^{\infty }$chỉ có một điểm tụ duy nhất (gọi là a) thì nó hội tụ (đến a)

Bài 6: Chứng minh rằng tập hợp tất cả các điểm biên của một tập hợp tuỳ ý là một tập đóng.

Bài 7: Cho E là không gian metric compact và ${\left\{{\mathrm{U}}_{\mathrm{\lambda }}\right\}}_{\mathrm{\lambda }\in \mathrm{L}}$ là một phủ mở của E. Chứng minh rằng tồn tại số r > 0 sao cho $\forall \mathrm{x}\in \mathrm{E},\exists {\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{x}}\in \mathrm{L} \mathrm{để} \mathrm{B}(\mathrm{x},\mathrm{r})\subset {\mathrm{U}}_{\mathrm{\lambda x}}$

Bài 8: Cho E, F, G là ba không gian metric, Giả sử $\mathrm{f}: \mathrm{E}\to \mathrm{F} \mathrm{và} \mathrm{g}: \mathrm{F}\to \mathrm{G}$ là các ánh xạ liên tục. Chứng minh rằng nếu f là toàn ánh và $\mathrm{g}\circ \mathrm{f}$ là một phép đồng phôi thì f và g cũng là những phép đồng phôi.

Việc làm dành cho sinh viên:

Việc làm thực tập sinh giáo viên

Việc làm gia sư các môn cập nhật theo ngày mới nhất

Việc làm thêm nhân viên phục vụ nhà hàng/ quán cafe dành cho sinh viên

Việc làm gia sư môn Toán mới nhất

Mức lương của thực tập sinh giáo viên là bao nhiêu?